動態(tài)光散射檢測電機轉(zhuǎn)速的互信息函數(shù)分析

王沙,楊志安，任中京

(濟南大學(xué)理學(xué)院，濟南250022)

摘要：通過計算互信息函數(shù),對動態(tài)光散射得到的電機轉(zhuǎn)速的時間序列進行了分析。研究表明，互信息函數(shù)法能 準確地測出電機轉(zhuǎn)速。同時，由于互信息函數(shù)自身的優(yōu)點-一能實際地反映出數(shù)據(jù)之間的相互關(guān)聯(lián)，因此,與自相關(guān)函 數(shù)法比較,互信息函數(shù)法可反映出更多的動力學(xué)信息。對實驗數(shù)據(jù)的時間序列作了二維的相空間重構(gòu),從重構(gòu)圖形發(fā)現(xiàn) 系統(tǒng)有2周期行為,并呈現(xiàn)有一些新現(xiàn)象。

 關(guān)鍵詞：光學(xué)測量;互信息函數(shù)；動態(tài)光散射；自相關(guān)函數(shù)；相空間重構(gòu)

1引言

本文利用互信息函數(shù)對動態(tài)光散射法測電機轉(zhuǎn) 速的實驗進行了研究，準確測出了電機的轉(zhuǎn)速。本 文對實驗數(shù)據(jù)的時間序列作了二維的相空間重構(gòu)， 發(fā)現(xiàn)了一些新的現(xiàn)象并進行了討論。這些結(jié)果是以 往自相關(guān)函數(shù)法^[1]分析中所沒有的，文中比較了互 信息函數(shù)法與自相關(guān)函數(shù)法^[2]兩種方法的優(yōu)劣。

2原理

按Shannon的信息理論，設(shè)S表示一組訊號為 S1 , S2 ,…，Sn的系統(tǒng),出現(xiàn)Si的概率是P_s⁽nJ , i = 1, 2,, n。對另一組訊號為q , qi,  qn的系統(tǒng)Q ,出 現(xiàn)qj的概率是Pq(qj) ,j = 1 ，2 ， n。q同時出 現(xiàn)的概率是Psq (Si, qj)。互信息的定義為：

I(S, Q)度量的是變量S與Q之間的一般性關(guān)聯(lián)程 度,或比值P_sq(Si, qj) / P_s(Si) P_q(qj)的整體不平整 程度。互信息越大，變量S與Q之間的關(guān)聯(lián)程度越強，系統(tǒng)的不平整程度越高，系統(tǒng)越不均勻；互信息 越小，變量S與Q之間的關(guān)聯(lián)程度越弱，系統(tǒng)的不 平整程度越低,系統(tǒng)越均勻。

在光子互信息法檢測電機轉(zhuǎn)速的實驗研究中， 主要關(guān)心的是測量數(shù)據(jù)隨延遲時間T的周期性，從 而得出電機的轉(zhuǎn)速。在計算中對某給定的延遲時間 T，令[s, q] = [x (t) , x (t + T)],這時互信息 I 是 延遲時間T的函數(shù)。

因為電機轉(zhuǎn)動是周期性的動力系統(tǒng)，其狀態(tài)隨 時間的演化可表示成s = x(T) = sint,則延遲坐標可表示成q = x (t + T) = sin(t + T) ，其中T是延遲時間。當(dāng)延遲Ti = 0時,q = x (t + T) = sin(t + 0) = sin t，這時s與q是同一變量,s與q間的關(guān)聯(lián)zui 強,這時I( Ti；取極大值。設(shè)系統(tǒng)周期是r,當(dāng)h = t 時,q = x (t + t) = sin (t + t) = sin t,使互信肩、 I(T2)又取極大值,則兩個極大點之差乃Ti = t 即為系統(tǒng)的周期。所以只要找出互信息I的兩個相 鄰極大值所對應(yīng)的極大點Ti和T2 ,其差值丁 = T2 -Ti就是系統(tǒng)的周期。當(dāng)周期t確定后，就可求出 轉(zhuǎn)速。另外利用由互信息I( T)的極大值來確定周 期,易于辨別和計算。

3互信息的計算。

互信息I(S , Q)的計算可用等間距劃分空間格子的方法進行：由給定的延遲時間T得到(s’q)，作出（s , q)平面，在(s’q)平面上重構(gòu)出圖形（例如 后面的重構(gòu)圖7) ，再在圖形上對欲求互信息I(S ， Q)所需的點集區(qū)域劃出矩形框A。設(shè)^是A在s方 向的長度,Aq是A在q方向的長度，然后把A再等間 距地劃分成小格子e。方向小格子的長度記為&_s’s 方向小格子的數(shù)目為M，所以As = Me_s。同理,q方 向小格子的長度記為eq, q方向小格子的數(shù)目為M^f，則A = M,e_q。在A中小格子e的總數(shù)為M X m'。 設(shè)⁽a ， b)是所劃格子A的起始點，對米樣點(s，q) 作下述判斷：

若滿足

表明(s，q)在小格子ei中就進行一次記錄，直到 將所有的數(shù)據(jù)點全部搜尋一遍，記錄落入標號為(i ’ j)的小格中所有的數(shù)據(jù)點同時記錄落入范圍 在i - 1到i內(nèi)的點數(shù)N_s,和從j - 1到j內(nèi)的點數(shù) Nq,即可得到，P_sq (si ’ qj) = Nsq/ Ntotal ， Ps (si)= Ns/ Ntotal ’ Pq ( qj) = Nq/ Ntotal ’ 其中 Ntotal 是全部采 樣點數(shù)。將Psq、q代入公式（1) 就可求出在給 定延遲時間T值下的互信息值I(S ’ Q) ^[47]。

在測電機轉(zhuǎn)速的實驗中，由于電機所帶動的轉(zhuǎn) 動圓盤不是*均勻的，在轉(zhuǎn)動的過程中，從其上面 散射的光就會呈現(xiàn)周期性。我們首先用探測器來接 收這些散射光，得到散射光的時間序列；其次編制出 計算互信息的程序，計算出給定延遲時間T值下的

互信息值I( T) ，得出互信息函數(shù)曲線;zui后利用互 信息函數(shù)曲線，求出轉(zhuǎn)動的周期性，從而求出轉(zhuǎn)速。

4實驗裝置

實驗系統(tǒng)如圖1所示。

圖1實驗系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖

取樣點處的光子數(shù)隨時間的變化

圖3對實驗數(shù)據(jù)的互 信息處理（I-t圖）

用直流電 動機帶動圓盤 轉(zhuǎn)動，電機轉(zhuǎn)速 可調(diào)。圓盤散 射的光經(jīng)過兩 個光闌及透鏡圖2 的會聚由光電 倍增管接收,:，

把光電數(shù)字信 號進行互信息 處理，就得出互 信息曲線。

在一定的 測量時間內(nèi)，米 集的光子數(shù)隨

時間變化的曲線如圖2所示。從圖3可以看出互信息處理周期變化的信號顯現(xiàn)了出來。

5由實驗數(shù)據(jù)計算電機轉(zhuǎn)速

對電機施加不同電壓’電機得到不同轉(zhuǎn)速。采集 某一轉(zhuǎn)速下隨時間變化的光子數(shù)’用自編軟件對采 集到的數(shù)據(jù)計算互信息函數(shù)。對確定的延遲時間T, 得到相應(yīng)的互信息/值/對不同的延遲時間r,得到 不同的互信息值，可得到互信息的函數(shù)曲線。分析互信息函數(shù)欠曲線的周期特性，可計算出相應(yīng)的轉(zhuǎn)速。

對一組數(shù)據(jù)的互信息曲線(如圖3)進行相應(yīng)轉(zhuǎn)速計算：由互信息極大點可知圓盤轉(zhuǎn)動周期為25 *2ms，轉(zhuǎn)速

n =60/ (25 X2 X10"³) = 1200(r/min)

所得結(jié)果與文獻[2]所用的自相關(guān)函數(shù)(用R表示)

圖4同一組實驗數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)圖（R-t）

見圖4)所計算出的電機轉(zhuǎn)速相同。這說明把互信 息函數(shù)法應(yīng)用于動態(tài)光散射測電機轉(zhuǎn)速的實驗中， 是可行的。

6相空間時間延遲重構(gòu)原理

對時間序列進行動力學(xué)分析的一個前提，是必 須有一個可用于工作的相空間。由于不知道系統(tǒng)的 動力學(xué)方程或模型,而且從實際測量中僅能得到一 個單標量的時間序列，因而從這個單標量的時間序 列重構(gòu)相空間，就成為時間序列分析的基礎(chǔ)之一。

相空間重構(gòu)的方法有多種，zui常用的是 Packard^[5]等人提出的時間延遲坐標的思想，重構(gòu)出 所觀測到的動力系統(tǒng)的相空間。他們指出，對一組 觀測標量s (1) ,s(2) … s ( n)中的某個值s ( n) 可 得到延遲T時刻后的測量值s(n + T) ’然后使用這 種時間延遲的集合構(gòu)造出一個d維矢量

x (n) = [s (n),s (n + T) ,s (n + 2 T) , ….., x(n + (d - 1) T)]

式中T為時間延遲;d為嵌入維。相空間重構(gòu)的結(jié) 果應(yīng)保留原系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì)和幾何性質(zhì)，這要求 重構(gòu)變換是嵌入,這一點可由Takens^[6]定理保證。 這時，這個矢量包含了原始的實際變量的動力學(xué)信息，這樣就重構(gòu)出了所需要的相空間。

7對實驗數(shù)據(jù)的二維重構(gòu)

Taken定理給出的僅是嵌入的充分條件，為了計算互信息，只需對系統(tǒng)進 行二維重構(gòu)即 可。采集另一 轉(zhuǎn)速下電機的 一組實驗數(shù)據(jù) 進行二維重 構(gòu)，延遲時間 T從1取到 140,計算出互 信息值’相應(yīng) 的互信息函數(shù) 曲線是圖5,相 應(yīng)的自相關(guān)曲線見圖6。

從這組數(shù)據(jù)測出的電機轉(zhuǎn)速：由兩個互信息相 鄰極大值的間隔可知電機旋轉(zhuǎn)周期為13 X2ms,則 轉(zhuǎn)速 n = 60/ (13 X2 X10^-3) = 2307. 7r/min。從這 組數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)圖6可明顯看出，自相關(guān)把噪 聲抹平了，能很好地提取出系統(tǒng)的周期信號。而互 信息函數(shù)能反映出更多的動力學(xué)信息，由于噪聲或 其他細節(jié)的干擾，周期性減弱，但仍能從兩個相鄰的 互信息極大值判斷出系統(tǒng)所具有的周期特性。

選取幾個延遲時間，做出二維重構(gòu)圖如圖7(a)- (e) 。

在T = 51 ,89兩個互信息極大點處作出的重構(gòu)圖[如圖7 (a) , (e)]。

圖7對一組實驗數(shù)據(jù)的相空間二維重構(gòu)圖

軌道基本上擠壓在主對角線上，這時失真zui大，關(guān)聯(lián)zui強。這個結(jié)果表明，所討 論的系統(tǒng)是確定論的系統(tǒng)。當(dāng)互信息處于相對較小值的點上做出的重構(gòu)圖，軌道開始展開。當(dāng)互信息取極小值時，重構(gòu)圖軌道整體展開到zui大[如圖7 (b) ,(c)]。當(dāng)T由小逐漸變大的過程中，軌道隨著互信息值的增大而展開，隨著互信息值的減小而壓縮;軌道隨著互信息值的再增大而再展開，隨著互信 息值的再減小而再壓縮，不斷重復(fù)此過程。這說明系統(tǒng)的動力學(xué)有周期性,互信息函數(shù)刻畫了這種周期規(guī)律。

從圖7(b)中可以明顯看出，重構(gòu)的曲線繞了兩 圈后與自身重合，這反映了系統(tǒng)具有二周期特性，即 系統(tǒng)整體有一個大周期,里面還套著一個小周期。 這個結(jié)果表明，系統(tǒng)除了有整體的轉(zhuǎn)動周期外，還有 因測試對象不是理想的轉(zhuǎn)動，如電機本身的不均勻, 及測試對象不光滑，此外還有環(huán)境及噪聲等其它因 素引起的附加的周期和非周期行為。

圖7(c)的重構(gòu)圖與圖7(b)的重構(gòu)圖有明顯的 區(qū)別，圖7(b)中只有正向轉(zhuǎn)動的行為,而圖7(c)中 除了有正向轉(zhuǎn)動的行為外,還有逆向轉(zhuǎn)動的部分。

另外它們的拓撲不同，主要表現(xiàn)在圖7(c)中有兩個 交叉點，而圖7(b)中只有一個交叉點。這些結(jié)果反 映出，在電機轉(zhuǎn)動這一簡單的實驗中，包含有復(fù)雜的 動力學(xué)內(nèi)容。但是這種逆向轉(zhuǎn)動的原因，及不同的 拓撲所包含的物理意義還不清楚，有待進一步研究。

8總結(jié)

本文將互信息函數(shù)應(yīng)用于動態(tài)光散射檢測電機 轉(zhuǎn)速的研究，準確地測出電機轉(zhuǎn)速，這一結(jié)果與自相 關(guān)函數(shù)法的結(jié)果一致。并且互信息函數(shù)法是真正意 義上的相互關(guān)聯(lián)，可得到更多系統(tǒng)的動力學(xué)信息，這 些信息常常被淹沒于噪聲中。

同時，本文將相空間二維重構(gòu)應(yīng)用于動態(tài)光散射檢測電機轉(zhuǎn)速的研究中，從相空間重構(gòu)圖中可以 得出許多的動力學(xué)信息，比如系統(tǒng)的二周期性，實驗 受外界的噪聲干擾等。這些現(xiàn)象有待進一步研究。