Mie散射系數(shù)的新算法
更新時間：2017-05-12
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Mie 散射系數(shù)的新算法
王少清 任中京 張希明 何芳 江海鷹
(濟南微納顆粒儀器股份有限公司，濟南 250022)
提要：介紹了一種計算Mie散射系數(shù)的新方法，給出了計算實例。
New algorithm of Mie scattering parameters
Wang Shaoqing Ren Zhongjing Zhang Ximing HeFang Jiang Haiying
(Shandong Institute o f Building Materials，Jinan 250022)
Abstract：A new algorithm of calculating Mie Parameters was introduced. Some calculation results done with this algorithm were given.
Key words: Mie scattering ，Mie parameters，Mie calculation
1 引言
Mie 理論是激光粒度儀，球形顆粒對單色光的散射場分布的嚴格解析解[1]，目前在環(huán)保、動力、氣象、天文、兩相流及粉體顆粒尺寸分布測量等工程技術(shù)領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用。利用單一顆?；蝾w粒群光散射場的測量數(shù)據(jù)。可以反推得散射顆?；蝾w粒群的很多物理性質(zhì)，如顆粒的尺寸、顆粒的折射率等[2]。但反推必須事先計算出各種尺寸的顆粒在各種復(fù)折射率下的散射場分布數(shù)據(jù)。1968 年Dave[3]zui先發(fā)表了完整的Mie散射計算方法，以后Lentz[4]和Wiscomb[5]又針對部分計算提出了新算法。國內(nèi)也有人發(fā)表了他們自己的算法[6、7、8]。但總的看來，這些算法均有各自的局限性。尤其是當顆粒尺寸或折射率的虛部值較大時，往往計算速度過慢或產(chǎn)生溢出和不收斂等現(xiàn)象。本文介紹作者發(fā)展的Mie 散射新算法。該算法的特點是不受顆粒尺寸及折射率的限制，不會產(chǎn)生溢出和不收斂的現(xiàn)象，且具有較快的計算速度。
2 Mie散射系數(shù)的計算公式
Mie 散射計算的中心問題是，激光粒度儀計算Mie 散射系數(shù)an 和bn，其表達式為[9]
其中為顆粒的尺寸參數(shù)，定義為α=πd/λ，d為顆粒直徑，λ為入射光在顆粒周圍介質(zhì)中的波長，而m為顆粒在周圍介質(zhì)中的相對復(fù)折射率，即m= m1 + im2 ( m2< 0) , 式中i 為虛數(shù)單位。而Ψn( Z) 和ξn( Z) ( Z 既表示α，又表示mα)的表達式為
Ψn( Z)=（πZ/2）Jn+1(Z)
ξn( Z)=Ψn( Z)+iΧn(Z)
Χn(Z)= ? (πZ/2)( ? 1)n-1J-(n-1)(Z)
= ? (πZ/2)Nn+1(Z)
3 計算中產(chǎn)生溢出的原因
計算Mie 散射系數(shù)須先計算Ψn 和Χn。一般采用遞推的方法。遞推又分為向前遞推( 即從n= 0 開始) 與向后遞推( 即從n= N 開始至n=0, N 為預(yù)先設(shè)定值) 。實驗表明，向前遞推總是快于向后遞推。Ψn 和Χn的初值為
分析以上兩式可知，當m2≠0 時, 若顆粒尺寸d很大, 或復(fù)折射率的虛部值m2很大，將使得乘積m2d很大，可使兩式中的項exp( - m2 α) =exp ( - πm2d/ λ) 的值超過計算機的數(shù)據(jù)限，從而產(chǎn)生溢出，這是產(chǎn)生溢出的重要原因。另外，在遞推過程中，不恰當?shù)乃惴ㄒ部赡茉斐梢绯觥?/span>
4 an和bn的新算法
為解決上述問題，作者提出了新的算法。將an和bn的公式變形如下: 令
其中Lnr、Lnj分別表示Ln(m)的實部與虛部。將（2）式代入（1）式，并用anr、anj和bnr、bnj分別表示的實部與虛部。如此可推得
在上述四個公式中采用比值的形式是非常重要的，這樣可避免遞推過程中當ai與bi 較大時乘法運算可能產(chǎn)生的溢出。這是本算法的一個重要特點。在以上四式中
由于均為實變量函數(shù)，計算不產(chǎn)生溢出。關(guān)鍵是激光粒度儀和粒度分析儀的算法如何處理，才能保證計算中不產(chǎn)生溢出。在Lentz的算法中是采用連分式計算Ln的值，其精度的保證是由在大量計算基礎(chǔ)上得出一個截斷項數(shù)N與參數(shù)a與m的經(jīng)驗公式而實現(xiàn)的。這樣的經(jīng)驗公式，一則有實用上的局限性，再則也會帶來截斷誤差。文獻（6）對此經(jīng)驗公式做了改進，但仍陷于a=1~100，m1=1~2，m2=0~1的范圍。下面介紹本文作者發(fā)展的關(guān)于Ln的新算法。該算法的特點是不受a及m值的限制，不會產(chǎn)生溢出或不收斂等病態(tài)現(xiàn)象，且具有較快的計算速度。令
上面導(dǎo)出的(3) - (20)諸式，構(gòu)成了Mie系數(shù)an和bn的完整算法。由于an和bn是從n= 1開始計算，利用初值公式(16) - (20)即可算得任意級數(shù)的an和bn的值，故沒有舍入誤差的問題。從(16)式可見，因為y= m2ɑ≤0, 故無論m2和ɑ取何值均不會產(chǎn)生溢出，再加上(3)的各式中采用了比的形式，又避免了計算過程中的溢出，這就從根本上解決了溢出的問題。
5 計算實例
利用以上算法編制了計算顆粒散射場強度和消光系數(shù)的計算機程序。當波長為λ的單位振幅的平面自然光入射顆粒時，顆粒的散射光強為[9]
Ξ為計算機在雙精度下的zui小數(shù)據(jù)限。
圖1示出散射光強的一組計算實例。其中取m1=1.33，m2=-0.4，λ=0.6328三圖分別對應(yīng)于顆粒的直徑為d=0.001,1.0和30μm。而d圖為顆粒直徑d=100μm時散射花樣的局部放大。可見，隨著顆粒尺寸的增大，前向散射迅速加強，并且出現(xiàn)了復(fù)雜的旁瓣。
實部(a)與虛部(b)的變化情況?？梢婋S著m1和m2的增大，雖然顆粒的尺寸保持不變，但散射也加強，且后向散射隨著m1和m2的增大而加強。
圖3給出有關(guān)消光系數(shù)的計算結(jié)果，其中a)和b)分別表示消光系數(shù)隨折射率實部與虛部的變化情況。可見隨著顆粒直徑的增大，消光系數(shù)趨近于2; 折射率的增大，尤其是折射率虛部的增大，使這一趨近變得更快和更明顯。另外當折射率的虛部m2= 0時，消光系數(shù)隨顆粒直徑的增大而振蕩；但當m2≠0 時，振蕩迅速消失。
光強zui大值處所對應(yīng)的FM(Z)的值即由上式確定。由上式也可見：此極限情況下的焦移大小主要由S0/f及Na所決定。
參考文獻：
[1]M. Bor n and E. Wolf, Principles of optics ( sixt hedition ) , Pergaman Press ( OXFORD, NEW YORK, PARIS) , pp611(1980)
[2]Peter Chylek, V. Ramasw amy , A. Ashkin and J.M . Dziedzic,“Simultaneous determination o f refractiv endex and size o f spherical dielectric particles from light scattering data”,Appl. Opt . ,Vo l. 22, No . 15, p2302- 2307(1983)
[3]J. V. Dave, Repo rt 320 - 3237 ( IBM Scientific center , 1968)
[4]W. J. Lentz, Appl. Opt. , 15, 668( 1976)W. J. Wiscome, Appl. Opt, Vol. 19, No. 9, pp1505( 1980)
[6]顧冠亮等, 有關(guān)光散射物理量的數(shù)值計算, 上海機械學院學報, 1984 年4 期pp21
[7]余其錚等, Mie 散射算法的改進, 哈爾濱工業(yè)大學學報, 1987 年3 期, pp21
[8]鄭剛等, M ie 散射的數(shù)值計算, 應(yīng)用激光, Vol.12, No . 5, pp220( 1992)
[9]H. C. v an de Hulst , Lig ht scatter ing by small particles,Do ver Publica tion lnc. , New Yor k, chp. 13( 1981)
發(fā)表的時間：1997-06-15
刊物名稱：激光雜志 第18卷第3期
頁碼 ：6頁
